library.if.ua

Мікроекономічна теорія виробництва і витрат (2003)

3.4. Виробнича функція Кобба—Дугласа

Перше формалізоване подання. Серед субституційних функцій виробництва з частковою заміщеністю ресурсів широко відома функція Кобба—Дугласа, названа так по іменах професорів Чиказького університету.

Економіст Поль Дуглас зібрав статистичні дані за період 1899—1922 рр. щодо обробної промисловості США й у 1927 р. звернувся до математика Чарльза Кобба з проханням формалізувати за допомогою математичної моделі виявлені закономірності впливу праці та капіталу на випуск продукції.

У 1928 р. ними було запропоновано степеневу виробничу функцію такого вигляду:



де Q — обчислений або очікуваний індекс виробництва продукції обробної промисловості за деякий характерний інтервал часу;

L — індекс зайнятості в обробній промисловості;

K — індекс постійного капіталу;

A, α — позитивне постійне число, що характеризує технологію виробництва.

Використовуючи статистичні дані за зазначений період, Ч. Кобб і П. Дуглас одержали таку виробничу функцію для обробної промисловості США [21, с. 4, 33, 35 та ін.]:



Тут R2 — коефіцієнт множинної детермінації, що показує, яка частина змін залежної змінної (у даному випадку — Q) обумовлена змінами незалежних змінних (L, K). Його значення говорить про те, що зміни Q на 94 % обумовлені змінами L і K. Зауважимо, що значення показників ступеня за незалежних змінних у сумі дорівнює одиниці.

Щоб оцінити внесок кожного фактора в кінцевий продукт, Ч. Кобб і П. Дуглас за допомогою диференціального числення, використовуючи часткові похідні, розрахували граничний продукт праці та капіталу:



Отже, у функції (3.15), отриманій Коббом і Дугласом, збільшення обсягу трудовитрат на 1 % веде до збільшення випуску на 0,75 %, а збільшення капіталу на 1 % збільшує випуск на 0,25 %. Оскільки значення EQ,L та EQ,K менше одиниці, випуск продукції відносно нееластичний і за працею, і за капіталом.

Поширення та модифікації. Після опублікування основної праці Ч. Кобба і П. Дугласа численними дослідниками були отримані виробничі функції аналогічного типу для різних видів виробництв, секторів економіки, географічних районів США і навіть для різних країн (табл. 3.3).



Оцінки виробничих функцій, наведені в табл. 3.3, отримано на основі узагальнення емпіричних даних з використанням функції Кобба—Дугласа такого вигляду:



У другій половині XX ст. степеневі функції почали застосовувати не тільки для аналізу виробничих процесів із відчутними результатами, а й для аналізу різних явищ суспільно-політичного життя. Так, у 1975 р. було розроблено степеневу виробничу функцію для поліції Лос-Анджелеса, що пов’язує кількість арештів за кримінальні злочини з такими змінними факторами, як кількість груп поліцейських-мотоциклістів, кількість поліцейських усередині помешкань, кількість осіб, які недавно звільнені і проживають у місті тощо [24, с. 366].

Виробничу функцію Кобба—Дугласа типу (3.13) часто подають у логарифмічному вигляді:

lgY=lgA+algL+(1-a)lgK

У СРСР Б. М. Михайлевським і Ю. П. Соловйовим на основі опрацювання статистичних даних за 1951—1963 рр. по народному господарству в цілому було отримано таку виробничу функцію [21, с. 456]:

lgYt=-0.524+1.11(0.541lgLt+0.334lgKt+0.1251lgRt+0.00518

де Yt — отриманий національний дохід;

Lt — кількість відпрацьованих людино-годин;

Kt — вартість капітальних благ;

Rt — оцінка сільськогосподарських земель;

t — рік.

Приклади виробничих функцій розглянутого типу, отриманих для галузей, видів виробництв, підприємств, можна продовжити. Дослідниками було встановлено, що сума коефіцієнтів при змінних може дорівнювати одиниці, але може бути і більше, і менше одиниці; еластичність випуску за змінними факторами була пов’язана з еластичністю масштабу; для багатьох виробництв були визначені мінімально ефективні розміри випуску і т. д. Нами розглядатимуться ці питання в наступних темах.

На теперішній час підходи П. Дугласа і Ч. Кобба розвиваються за такими напрямами:

урахування невизначеності;

урахування лагів запізнення випуску стосовно часу здійснення витрат;

повніше відображення технічного прогресу та якості праці;

поєднання кореляційного (кількісного) аналізу з дисперсійним (якісним) для повнішого врахування впливу факторів на ефективність виробництва тощо [21, с. 458, 459].

Ключові положення

Ізокванта — геометричне місце точок у просторі факторів виробництва, для яких характерний однаковий обсяг випуску продукції.

Ізоквантна варіація показує, як можна комбінувати фактори виробництва, щоб забезпечити визначений обсяг випуску продукції.

Ізокванти можуть бути побудовані на основі даних виробничої сітки або шляхом розрізу “пагорба випуску” горизонтальною площиною, рівнобіжною площині факторів виробництва OKL (див. рис. 1.2).

Сукупність ізоквант, кожна з яких відбиває максимально можливий випуск за різних комбінацій факторів виробництва, називається картою ізоквант.

Ізокванти мають такі властивості: вони не перетинаються, опуклі до початку координат; мають негативний нахил; чим далі розміщені від початку координат, тим більший обсяг випуску характеризують.

Виробничі фактори мають властивості заміщеності і доповнюваності. Показником заміщення виступає MRTS — гранична норма технологічного заміщення одного фактора іншим — та кількість ресурсу і-го виду, що може бути вивільнена в обмін на збільшення застосування ресурсу j-го виду на одиницю так, щоб загальний обсяг продукції залишився незмінним. Кількісні значення MRTS варіюють від 0 (відсутність взаємозамінності факторів) до ∞ (абсолютна, ідеальна взаємозамінність факторів).

Доповнюваність факторів вимірюють коефіцієнтом доповнюваності, що його кількісні значення, як і MRTS, варіюють від 0 до ∞. При цьому зі збільшенням доповнюваності рівень заміщеності знижується, і навпаки.

Ізокванти можуть мати різну конфігурацію, яка визначається особливостями технологічного процесу і, насамперед, ступенем заміщеності та доповнюваності виробничих факторів. У мікроекономічній теорії виробництва найчастіше фігурують лінійна і неперервна ізокванти.

Геометричне місце точок у просторі факторів виробництва, для яких характерний однаковий розмір граничної норми технічного заміщення між факторами, називається ізокліной. Ізокліни можуть бути як прямими, так і кривими, як з позитивним, так і з негативним нахилом до осі абсцис.

Ізокліни у вигляді променів, що виходять із початку координат, характеризують для однорідних виробничих функцій технічно можливі шляхи збільшення обсягів випуску продукції, тобто переходу з нижчої ізокванти на вищу.

Еластичність заміщення факторів виробництва показує, на скільки відсотків (за інших рівних умов) зміниться співвідношення витрат двох факторів, якщо гранична норма їх заміщення (або співвідношення їх граничних продуктів, або співвідношення їх цін) зміниться на 1 %.

Виробнича функція Кобба—Дугласа зв’язує випуск (або іншій кінцевий результат) із розміром виробничих факторів у вигляді добутку обсягів застосування факторів із визначеними степеневими коефіцієнтами. Дослідження показали, що багато явищ виробничого і соціального життя суспільства досить добре апроксимуются залежностями такого типу.