Кількісні методи в управлінні інвестиціями (2000)

Якщо перетворити загальне рівняння визначення середньоквадратичного відхилення (ризику) портфеля проектів (ЦП) (6.3) для випадку, коли проект складається з двох проектів (ЦП) 1 та 2, то отримаємо:

З рівняння (6.5) видно, що ризик портфеля двох проектів (ЦП) залежить не лише від ризику кожного з проектів (ЦП), що складають портфель, але також від кореляції цих проектів (ЦП) (кореляції їхніх норм прибутку).

Для того, щоб відшукати структуру портфеля проектів (ЦП), що забезпечить йому мінімальний ризик, треба мінімізувати дисперсію портфеля двох проектів σP2 шляхом прирівняння до нуля першої похідної σP2 як функції від Х1. Тоді одержимо:

Для визначення впливу кореляції між проектами (ЦП) на ризик сформованого портфеля, візьмемо за основу формулу (6.5) і проаналізуємо деякі основні екстремальні випадки, коли 12 дорівнюватиме або +1, або –1, або 0.

Випадок 1. 12 = + 1.0.

Це один з екстремальних випадків, коли сподівані грошові потоки проектів залежать один від одного функціонально. Такими проектами можуть бути взаємодоповнюючі проекти.

Підставивши значення 12 = + 1.0 у формулу (6.5), отримаємо:

Ризик портфеля в цьому разі є середньозваженою величиною ризику окремих проектів, а ваговими коефіцієнтами є частки цих проектів у портфелі.

● Приклад 1. Сподівана прибутковість та стандартне відхилення інвестиційного портфеля

Нехай проекти 1 і 2 мають такі характеристики «ризик—прибутковість».

Визначити значення сподіваної прибутковості портфеля проектів E(Rp) і ризик портфеля p, якщо 12 = + 1.0. Побудувати графік залежності «ризик—прибутковість».

Розв’язання. Підставимо значення сподіваної прибутковості проектів і ризиків проектів до формул (6.1) і (6.7):

E(Rp) = 0.15X1 + 0.20X2;

p =0.12X1 + 0.16X2.

Складемо таблицю для обчислення E(Rp) і p, маючи на увазі, що X2 = 1 – X1.

Точка A відповідає портфелю, до якого входить лише проект 1, а точка B — портфелю, що складається тільки з проекту 2. Точки на відрізку AB відповідають портфелям, що складаються з різних часток проектів 1 і 2.

У цьому разі досягти ефекту зменшення ризику не вдається, тому що зі зниженням ризику знижується сподівана прибутковість портфеля.

Випадок 2. 12 = – 1.0.

Цей випадок відображає абсолютно від’ємну кореляцію між проектами 1 і 2. Підставляючи значення коефіцієнта кореляції 12 = – 1.0 у формулу (6.5), отримаємо:

Проілюструємо цей випадок графічно на прикладі 2.

● Приклад 2. Сподівана прибутковість та стандартне відхилення інвестиційного портфеля

Нехай проекти 1 і 2 мають такі характеристики «ризик—прибутковість».

Визначити значення сподіваної прибутковості портфеля проектів E(Rp) і ризик портфеля p, якщо 12 = – 1.0. Побудувати графік залежності «ризик—прибутковість».

Розв’язання. Підставимо значення сподіваної прибутковості проектів і ризиків проектів до формул (6.1), (6.7) і (6.8):

У цьому разі допустима множина портфелів проектів складається з точок, що лежать на ламаній АСВ. Точка A відповідає портфелю, що складається з одного проекту 1, точка В – з одного проекту 2. Збільшуючи частку проекту 2 в портфелі, отримуємо зростання сподіваної прибутковості й одночасно зменшення ступеня ризику. В точці С відповідає ступень ризику σP = 0, то ми отримуємо безризиковий портфель зі сподіваною нормою прибутковості 17.15%, яка є вищою від мінімальної норми прибутковості проекту 1.

Якщо частка проекту 2 в портфелі далі зростатиме (відрізок СВ), то маємо і подальше зростання норми прибутковості, й подальше зростання ступеня ризику до величини P = 16%.

Інвестор не повинен обирати жодного портфеля проектів, що розташовані на відрізку АС. Для кожного такого портфеля проектів знайдеться кращий з іншою структурою на відрізку CB. Наприклад, портфель, що відповідає точці D на відрізку CB, при однаковому ступені ризику 12%, має більш високу сподівану прибутковість, ніж портфель у точці А, що складається повністю з проекту 1.

Випадок 3. 12 = 0.

Цей випадок описує відсутність будь-якого взаємозв’язку між сподіваними нормами прибутковості проектів, тобто формування прибутковості одного проекту не пов’язано з формуванням прибутковості другого проекту. Підставивши значення 12 = 0 в формулу (6.5) обчислення стандартного відхилення портфеля проектів, отримаємо:

● Приклад 3. Сподівана прибутковість та стандартне відхилення інвестиційного портфеля

Нехай проекти 1 і 2 мають такі характеристики «ризик—прибутковість».

Розв’язання. Підставимо значення сподіваної прибутковості проектів і ризиків проектів до формул (6.1), (6.10) і (6.8):

Точки А і В відповідають портфелям, у які входять або проект 1, або 2. Виходячи з точки А і збільшуючи частку проекту 2 в портфелі, отримуємо зростання сподіваної прибутковості і зниження міри ризику. У точці С отримуємо портфель з мінімальним ризиком.

Збільшуючи далі частку проекту 2 в портфелі (X2 > 0.36), отримуємо подальше зростання очікуваної прибутковості, але вже зі зростанням ризику. З графіка видно, що інвестор має вибрати портфелі, що розташовані на відрізку кривої CB, який є множиною ефективних портфелів.

Наведені приклади показують, що вміле формування портфелів з двох проектів може привести до значного зменшення ризику. Такі дії інвестора чи інвестиційного менеджера називаються диверсифікацією.