Економічний ризик: ігрові моделі (2002)

З низки критеріїв, використовуваних у полі I1, детальніше розглянемо критерій Байєса та мінімальної дисперсії.

Нагадаємо, що згідно з класифікатором інформаційних ситуацій у випадку I1 вважається відомим закон розподілу ймовірності станів економічного середовища

Для розв’язання оптимізаційної задачі (3.15)—(3.17) (враховуючи структуру цільової функції) доречно скористатися методами квадратичного програмування [91].

Зупинимося на двох підходах, з позиції теорії парних ігор з нульовою сумою, до розв’язання задачі визначення стратегії, що забезпечує мінімум дисперсії (цільовій функції (3.15)).

Сутність першого підходу з’ясовує теорема 3.1.

Зауваження 3.1. Доведення цієї теореми наведене в додатку до розділу 3 (пункт 3.9.2).

Зауваження 3.2. За виконання умов теореми 3.1 оптимальна змішана стратегія sp* першого гравця, знайдена згідно з критерієм мінімальної дисперсії, є безризиковою, оскільки її дисперсія дорівнює нулю: σp*2 = 0.

Зауваження 3.3. Необхідною (але недостатньою) умовою того, що всі чисті стратегії другого гравця будуть його активними стратегіями (тобто qj* > 0, для всіх j = 1,…, n), є виконання умови m ≥ n, тобто кількість чистих стратегій СПР повинна бути не меншою кількості станів економічного середовища.

Другий підхід до розв’язання задачі визначення стратегії, що мінімізує дисперсію, базується на розв’язанні парної гри з нульовою сумою з коваріаційною матрицею C = cov(Fp). Попередньо сформулюємо необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних (3.15) за виконання умови (3.16). Для цього складаємо відповідну функцію Лагранжа:

У формулах (3.19)—(3.20) через C-1 позначено матрицю, обернену до матриці коваріації С (вважається, що матриця С — невироджена). Виведення зазначених формул наведено в додатку до розділу 3 (пункт 3.9.1).

Зауваження 3.4. Оскільки в разі отримання формули (3.19) не врахована умова (3.17), то вектор P*, отриманий згідно з (3.19), може містити від’ємні компоненти. На практиці за виникнення такої ситуації з метою забезпечення виконання умови (3.17) з розгляду відкидають ту чисту стратегію СПР, яка відповідає найменшій (від’ємній) компоненті вектора P*. Якщо її позначимо через sk-, що задовольняє умові (3.17), то її номер k- = arg min(p1*,…, pm*) і при цьому pk- < 0.

Після вилучення чистої стратегії sk- знову розв’язується оптимізаційна задача, аналогічна (3.15)—(3.17). Цей процес триває до моменту отримання оптимальної змішаної стратегії sp*, для якої компоненти вектора P* задовольняють умову (3.17).

Сутність другого підходу з’ясовує теорема 3.2.

Теорема 3.2. Нехай розглядається парна гра з нульовою сумою, що описана в умові теореми 3.1. Тоді, якщо pk* > 0(k = 1,… m), qj* > 0(j = 1,…, n), то m = n та P* = Q* і при цьому мінімальне значення дисперсії σp*2 = V*.

Доведення теореми наведено в додатку до розділу 3 (пункт 3.9.2).